Les théorèmes d'incomplétude de Gödel - Document

Visionnez attentivement le documentaire consacré aux théorèmes d'incomplétude de Gödel, pour répondre aux questions suivantes : 

1. Indiquez une formulation précise des deux théorèmes d'incomplétude.

2. Qu'appelle-t-on un système complet ? 

3. Qu'est-ce qu'une affirmation indécidable ?

4. Expliquez l'histoire de la conjecture de Fermat, devenue après 350 ans le théorème de Fermat-Wiles. Un ordinateur est capable de vérifier un très grand nombre de fois qu'une conjecture est confirmée par le calcul, mais il est incapable de la démontrer. Pourquoi, selon vous ? L'intelligence artificielle est-elle "intelligente" ?

5. Observez cette photographie d'Andrew Wiles, lors de sa démonstration publique du théorème lui valant d'accoler son nom à celui de Fermat en 1994. Quelle fut selon vous, durant trois siècles et demi, la motivation des nombreux mathématiciens qui se sont employés à chercher à démontrer la conjecture de Fermat ? Que vous suggère sa jubilation ?

6. Interviewé par la BBC en 1996 pour le documentaire "Fermat's Last Theorem" (disponible en anglais sur la perle suivante), Andrew Wiles décrit comme une révélation le moment où, après des années à chercher, assis à son bureau, soudain il trouva - avec une expression de recueillement quasi religieux. De sa quête, il dit ceci :

"C'était ma passion d'enfance. Rien ne peut égaler cela. J'ai eu ce privilège très rare de pouvoir atteindre une fois adulte ce qui avait d'abord été mon rêve d'enfant. Je sais que c'est le plus rare des privilèges, pouvoir à l'âge adulte toucher quelque chose qui à une telle valeur à vos yeux : qu'imaginer de plus gratifiant ? Après avoir résolu ce problème, j'éprouve bien sûr un sentiment de perte, mais en même temps un immense sentiment de liberté. J'étais tellement obsédé par ce problème que pendant huit ans j'y pensais sans cesse – de mon réveil le matin à mon coucher le soir. Cela en fait, du temps, au service d'une unique pensée ! Cette longue odyssée est terminée. Mon esprit est au repos."

Que nous apprennent ces réflexions qui éclairent la question "pourquoi vouloir la vérité ?"

7. Qu'est-ce que la cohérence d'un système ?

8. Analysez le problème suivant : l'encyclopédie répertoriant tous les livres existants doit-elle se répertorier elle-même ?

Réflexion : 

1. Si les théorèmes d'incomplétude démontrent que dans tout système axiomatique il existe des indécidables, cela signifie-t-il pour autant que des conjectures, non démontrées, sont fausses ?

2. Si le mathématicien, lorsqu'il produit une conjecture, ne peut s'appuyer sur la démonstration, d'après vous, puisqu'il faut bien que "quelque chose" l'instruise, par quoi est-il alors guidé ou éclairé ?